昨日の問題の実験結果
先日の問題である
実数面上のx^(2n)+y^(2n)=1なる閉曲線の囲む面積S[n]をnを用いた式で表示せよ(nは正の整数)。
を解いた結果
S[n]=(1/n){Γ(1/2n)^2}/Γ(1/n)
という式になりました。
Γ(x)はガンマ関数です。
ガンマ関数は特殊関数で、一般には初等関数(sinだとかlogだとか)で表示できません。次式になります。
Γ(x)=∫[t:0 to ∞] t^(x-1) exp(-t) dt
この結果についてnに関しての収束のプロットを添付しました。
n=5あたりでほとんど4に収束していることがわかりますね。
当初の予想通りかなり収束が早いです。(言語はpython)
最初の5項の数値だけ列挙すると
S[1]: 3.14159265
S[2]: 3.70814935
S[3]: 3.85524259
S[4]: 3.91384328
S[5]: 3.94292789
上記には記してませんが理想の極限(S[∞]=4)との誤差がS[13]あたりで1%未満となりました。
ブログの方でもうすこし詳しく書いてみようと思います。